Пример построения стохастической модели процесса. Построение стохастической модели

4. Схема построения стохастических моделей

Построение стохастической модели включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений, описывающих изучаемый процесс. Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.

Этапы разработки стохастической модели:

постановка задачи

выбор факторов и параметров

выбор вида модели

планирование эксперимента

реализация эксперимента по плану

построение статистической модели

проверка адекватности модели (связана с 8, 9, 2, 3, 4)

корректировка модели

исследование процесса с помощью модели (связано с 11)

определение параметров оптимизации и ограничений

оптимизация процесса с помощью модели (связана с 10 и 13)

экспериментальная информация средств автоматики

управление процессом с помощью модели (связано с 12)

Объединение этапов с 1 по 9 дает нам информационную модель, с первого по одиннадцатый – оптимизационная модель, объединение всех пунктов – модель управления.

5. Инструментальные средства обработки моделей

С помощью CAE-систем можно производить следующие процедуры обработки моделей:

наложение сетки конечных элементов на 3-х мерную модель,

задачи теплонапряженного состояния; задачи гидрогазодинамики;

задачи тепломассообмена;

контактные задачи;

кинематические и динамические расчеты и др.

имитационное моделирование сложных производственных систем на основе моделей массового обслуживания и сетей Петри

Обычно CAE-модули дают возможность цветного и полутонового изображения, наложения исходной и деформированной детали, визуализации потоков жидкости и газа.

Примеры систем моделирования полей физических величин в соответствии с МКЭ: Nastrаn, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Примеры систем моделирования динамических процессов на макроуровне: Adams и Dyna - в механических системах, Spice - в электронных схемах, ПА9 - для многоаспектного моделирования, т.е. для моделирования систем, принципы действия которых основаны на взаимовлиянии физических процессов различной природы.

6. Математическое моделирование. Аналитические и имитационные модели

Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств и др.) и отношений между ними, которая адекватно отображает некоторые (существенные) свойства проектируемого технического объекта. Математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.

- адекватность представления моделируемых объектов;

Область адекватности - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.

- экономичность (вычислительная эффективность) - определяется затратами ресурсов,
требуемых для реализации модели (затраты машинного времени, используемая память и др.);

- точность - определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).

Математическое моделирование - процесс построения математических моделей. Включает следующие этапы: постановка задачи; построение модели и ее анализ; разработка методов получения проектных решений на модели; экспериментальная проверка и корректировка модели и методов.

Качество создаваемых математических моделей во многом зависит от правильной постановки задачи. Необходимо определить технико-экономические цели решаемой задачи, провести сбор и анализ всей исходной информации, определить технические ограничения. В процессе построения моделей следует использовать методы системного анализа.

Процесс моделирования, как правило, носит итерационный характер, который предусматривает на каждом шаге итераций уточнение предыдущих решений, принятых на предшествующих этапах разработки моделей.

Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Имитационные модели - численные алгоритмические модели, отображающие процессы в системе при наличии внешних воздействий на систему. Алгоритмические модели - модели, в которых связь выходных, внутренних и внешних параметров задана неявно в виде алгоритма моделирования. Имитационные модели используют часто на системном уровне проектирования. Имитационное моделирование производят путем воспроизведения событий, происходящих одновременно или последовательно в модельном времени. Примером имитационной модели может считаться использование сети Петри для моделирования системы массового обслуживания.

7. Основные принципы построения математических моделей

Классический (индуктивный) подход. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные для моделирования и ставятся цели, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель.

Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Реализует движение от частного к общему.

Системный подход. На основе исходных данных, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования к модели системы. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы, элементы и осуществляется наиболее сложный этап синтеза – выбор составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора. Системный подход предполагает и некоторую последовательность разработки моделей, заключающуюся в выделении двух основных стадий проектирования: макропроектирование и микропроектирование.

Стадия макропроектирования – на основе данных о реальной системе и внешней среде строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели реальной системы. Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможность модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечения системы моделирования. На этой стадии можно установить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы .Независимо от типа используемой модели
при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного подхода:

пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;

согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования;

целостность отдельных обособленных стадий построения модели.

Анализ применяемых методов при математическом моделировании

При математическом моделировании решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем при использовании краевых условий приводятся к системе алгебраических уравнений.

Пусть необходимо решить уравнениеLV (z ) = f (z )

с заданными краевыми условиямиMV (z ) = .(z ),

где L и M - дифференциальные операторы, V (z ) - фазовая переменная, z = (x 1, x 2, x 3, t ) - вектор независимых переменных, f (z ) и ψ.(z ) - заданные функции независимых переменных.

В МКР алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.

МКЭ основан на аппроксимации не производных, а самого решения V (z ). Но поскольку оно неизвестно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами.

При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений (например, - полиномы низких степеней). В результате подстановки таких полиномов в исходное дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получают значения фазовых переменных в заданных точках.

Полиномиальная аппроксимация. Использование методов связано с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом и последующего использования аппроксимирующего полинома для оценивания координаты точки оптимума. Необходимыми условиями эффективной реализации такого подхода являются унимодальность и непрерывность исследуемой функции. Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, если функция непрерывна в некотором интервале, то ее с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Согласно теореме Вейерштрасса, качество оценок координаты точки оптимума, получаемых с помощью аппроксимирующего полинома, можно повысить двумя способами: использованием полинома более высо­кого порядка и уменьшением интервала аппроксимации. Простейшим вариантом полиномиальной интерполяции является квадратичная аппроксимация, которая основана на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть по крайней мере квадратичной

Дисциплина «Модели и методы анализа проектных решений» (Казаков Ю.М.)

Классификация математических моделей.

Уровни абстракции математических моделей.

Требования к математическим моделям.

Схема построения стохастических моделей.

Инструментальные средства обработки моделей.

Математическое моделирование. Аналитические и имитационные модели.

Основные принципы построения математических моделей.

Анализ применяемых методов при математическом моделировании.

1. Классификация математических моделей

Математическая модель (ММ) технического объекта есть совокупность математических объектов (чисел, пере­менных, матриц, множеств и т. п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта, интересующие инженера, разрабатывающего этот объект.

По характеру отображения свойств объекта:

Функциональные – предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в технических системах при их функционировании. Типичная функциональная модель представляет собой систему уравнений, описывающих либо электрические, тепловые, механические процессы, либо процессы преобразования информации.

Структурные – отображают структурные свойства объекта (топологические, геометрические). . Струк­турные модели чаще всего представляются в виде графов.

По принадлежности к иерархическому уровню:

Модели микроуровня – отображение физических процессов в непрерывном пространстве и времени. Для моделирования применяют аппарат урав­нений математической физики. Примерами таких уравне­ний служат дифференциальные уравнения в частных про­изводных.

Модели макроуровня. Используются укрупнение, детализация пространства по фундаментальному признаку. Функциональные модели на макроуровне представля­ют собой системы алгебраических или обыкновенных диф­ференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы.

Модели метоуровня. Укрупнено описывают рассматриваемые объекты. Математические модели на метауровне - системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы логических уравнений, имитационные модели систем массового обслуживания.

По способу получения модели:

Теоретические – строятся на основании изучения закономерности. В отличии от эмпирических моделей, теоретические в большинстве случаев являются более универсальными и применимыми для более широкого диапазона задач. Теоретические модели бывают линейными и нелинейными, непрерывными и дискретными, динамическими и статистическими.

Эмпирические

Главные требования к математическим моделям в САПР:

адекватность представления моделируемых объектов;

Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью и оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.

экономичность (вычислительная эффективность) – определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели (затраты машинного времени, используемая память и др.);

точность – определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований:

Вычислимость , т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

Модульность , т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость , т.е. возможность разработки соответствующего алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность , т.е. удобное визуальное восприятие модели.

Таблица. Классификация математических моделей

Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода.

Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.

Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно – логические модели.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Имитационные математические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.

Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.

Основные признаки

Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:

• Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
• Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
• Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.

Детерминированные и стохастические модели

Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.

Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.

В теории хаоса

В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.

Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.

Построение

Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.

Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.

Пример

Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:

• Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
• Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
• Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
• Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Концепция и результат

Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.

Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.

В последних главах настоящей книги стохастические процессы почти всегда представляются с использованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Это представление стохастического процесса обычно имеет следующую форму. Предположим, что

а - белый шум. Выбирая такое представление стохастического процесса V, его можно моделировать. Использоваййе таких моделей может быть обосновано следующим образом.

а) В природе часто встречаются стохастические явления, связанные с воздействием быстро меняющихся флуктуаций на инерционную дифференциальную систему. Типичным примером белого шума, действующего на дифференциальную систему, является тепловой шум в электронной цепи.

б) Как будет видно из дальнейшего, в линейной теории управления почти всегда рассматриваются только среднее значение и. ковариация Стохастического процесса. Для линейной модели ксегда можно аппроксимировать любые полученные экспериментально характеристики среднего значения и ковариационной матрицы с произвольной точностью.

в) Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотностей анергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса.

Примеры 1.36 и 1.37, так же как и задача 1.11, иллюстрируют метод моделирования.

Пример 1.36. Дифференциальная система первого порядка

Предположим, что измеренная ковариационная функция стохастического скалярного процесса о котором известно, что он является стационарным, описывается экспоненциальной функцией

Этот процесс можно моделировать при как состояние дифференциальной системы первого порядка (см. пример 1.35)

где - белый шум интейсивности - стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией .

Пример 1.37. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.31 (разд. 1.10.3) и вычислим для него матрицу дисперсий выходной переменной примере 1.31 предполагалось, что флуктуации концентраций в потоках описываются экспоненциально коррелированными шумами и, таким образом, могут быть смоделированы как решение системы первого порядка, возбуждаемой белым шумом. Добавим теперь к дифференциальному уравнению смесительного бака уравнения моделей стохастических процессов Получим

Здесь - скалярный белый шум интенсивности чтобы

получить дисперсию процесса равной примем Для процесса используем аналогичную модель. Таким образом, получим систему уравнений

Как следует из названия, данный вид моделей ориентирован на описание систем, которые проявляют статистически закономерное случайное поведение, а время в них можно рассматривать как дискретную величину. Сущность дискретизации времени такая же, как и в дискретно-детерминированных моделях. Модели систем такого рода могут быть построены на основе двух схем формализованного описания. Во-первых, это конечно-разностные уравнения, среди переменных которых используют функции, задающие случайные процессы. Во-вторых, в них применяют вероятностные автоматы .

Пример построения дискретно-стохастической системы. Пусть имеется некоторая производственная система, структура которой изображена на рис. 3.8. В рамках этой системы перемещается однородный материальный поток, проходящий стадии складирования и производства.

Пусть, например, поток сырья состоит из металлических болванок, которые складируются на входном складе. Затем эти болванки поступают на производство, где из них производят какое-то изделие. Готовые изделия складируются на выходном складе, откуда их забирают для дальнейших действий с ними (передают на следующие фазы производства или на реализацию). В общем случае такая производственная система преобразует материальные потоки сырья, материалов и полуфабрикатов в поток готовой продукции.

Пусть шаг изменения времени в данной производственной системе будет равен единице (Д?= 1). За единицу мы примем смену работы этой системы. Будем считать, что процесс изготовления изделия длится один временной шаг.

Рис. 3.8, Схема производственной системы

Управление производственным процессом осуществляется специальным регулирующим органом, которому задан план выпуска изделий в виде директивной интенсивности выпуска продукции (количество изделий, которое необходимо изготовить за единицу времени, в данном случае за смену). Обозначим эту интенсивность d t . Фактически это скорость выпуска продукции. Пусть d t =а+ bt, т. е. является линейной функцией. Это означает, что с каждой последующей сменой план увеличивается на величину bt.

Поскольку мы имеем дело с однородным материальным потоком, то считаем, что в среднем объем сырья, приходящего в систему в единицу времени, объем производства в единицу времени, объем готовой продукции, уходящей в единицу времени из системы, должны быть равны d t .

Входной и выходной потоки для регулирующего органа неуправляемы, их интенсивность (или скорость - число болванок либо изделий в единицу времени, соответственно приходящих в систему и уходящих из нее) должны быть равны d t . Однако в процессе транспортировки болванки могут быть утеряны, или часть из них будет некачественной, или по каким-то причинам их поступит больше, чем нужно, и т.п. Поэтому будем считать, что входной поток обладает интенсивностью:

х t вх =d t + ξ t вх,

где ξ 1 вх - равномерно распределенная случайная величина от -15 до +15.

Примерно те же самые процессы могут происходить с выходным потоком. Поэтому выходной поток обладает следующей интенсивностью:

х t в ы х =d t + ξ t вых,

где ξ t вых - нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 15.

Будем считать, что и в процессе производства имеются случайности, связанные с неявкой рабочих на работу, поломкой станков и т.п. Описывает эти случайности нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 15. Обозначим ее ξ t/ Процесс производства длится единицу времени, за которую с входного склада изымается x t сырья, затем это сырье обрабатывается и передается на выходной склад за ту же единицу времени. Регулирующий орган получает информацию о работе системы тремя возможными способами (они отмечены цифрами 1, 2, 3 на рис. 3.8). Мы считаем, что эти способы получения информации по каким-либо причинам являются в системе взаимоисключающими.

Способ 1. Регулирующий орган получает только информацию о состоянии входного склада (например, об изменении запасов на складе либо об отклонении объема запасов от их нормативного уровня) и по ней судит о скорости протекания производственного процесса (о скорости изымания сырья со склада):

1) (u t вх - u t-1 вх )- изменение объема запасов на складе (u t вх - объем сырья на входном складе в момент времени t);

2) (ù- u t вх) - отклонение объема сырья на входном складе от нормы запасов.

Способ 2. Регулирующий орган получает информацию непосредственно с производства (x t - фактическая интенсивность производства) и сравнивает ее с директивной интенсивностью (d t -x t).

Способ 3. Регулирующий орган получает информацию, как и при способе 1, но с выходного склада в виде (u t вых - u t-1 вых )- или (ù -u t вых). Он также судит о производственном процессе на основания косвенных данных - росте или уменьшении запасов готовой продукции.

Чтобы поддержать заданную интенсивность выпуска продукции d t , регулирующий орган принимает решения y t , (либо (y t - y t - 1)), нацеленные на изменение фактической интенсивности выпуска x t . В качестве решения регулирующий орган сообщает производству значения интенсивности, с которой надо работать, т. е. x t = y t . Второй вариант управляющего решения - (y t -y t-1), т.е. регулирующий орган сообщает производству, на сколько нужно увеличить или уменьшить интенсивность производства (х t -х t-1 ).

В зависимости от способа получения информации и вида переменной, описывающей управляющее воздействие, на принятие решений могут влиять следующие величины.

1. База решения (величина, которой должна быть равна фактическая интенсивность производства, если бы не было отклонений):

директивная интенсивность выпуска в момент t(d t);

темп изменения директивной интенсивности выпуска в момент t(d t -d t-1).

2. Величина отклонения:

отклонение фактического выпуска от директивного (d t -x t);

отклонение фактического объема выпуска от планового объема

Σ d τ - Σ х τ

изменение уровня запасов на входном ((u t вх - u t-1 вх) или выходном

(u t вых - u t-1 вых) складах;

отклонение уровня запасов на входном (ù- u t вх) или выходном (ù -u t вых) складах от нормативного уровня.

В общем случае управленческое решение, принимаемое регулирующим органом, состоит из следующих составляющих:

Примеры решений:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -u t вых)

Принимая различные по форме решения, регулирующий орган стремится достичь главную цель - приблизить фактическую интенсивность выпуска к директивной. Однако он не всегда может непосредственно ориентироваться в своих решениях на степень достижения этой цели (d t - x t). Конечные результаты могут выражаться в достижении локальных целей - стабилизации уровня запасов на входном или выходном складе (и t вх(вых) - и t -1 вх(вых)) либо в приближении уровня запасов на складе к нормативному (и - и вх (вых)). В зависимости от достигаемой цели в управляющем решении определяется вид знака (+ или -) перед долей рассогласования, используемой для регулирования.

Пусть в нашем случае регулирующий орган получает информацию о состоянии входного склада (изменение уровня запасов). Известно, что в любой системе управления имеют место запаздывания по выработке и реализации решения. В данном примере информация о состоянии входного склада поступает в орган регулирования с запаздыванием на один временной шаг. Такое запаздывание называется запаздыванием по выработке решения и означает, что к моменту получения информации в регулирующем органе реальное состояние уровня запасов на входном складе будет уже другим. После того как регулирующий орган принял решение у t также потребуется время (в нашем примере это будет единица времени) для доведения решения до исполнителя. Значит, фактическая интенсивность производства равна не y t , а тому решению, которое управляющий орган принял единицу времени назад. Это - запаздывание по реализации решения.

Для описания нашей производственной системы имеем следующие уравнения:

x t BX = d t + ξ t вх

x t вых = d t + ξ t вых;

y t = d t + y(u -u t-2 вх)

x t = y t-1 + ξ t

u t вх - u t-1 вх = x t вх - x t

Данная система уравнений позволяет построить модель производственной системы, в которой входными переменными будут d t , ξ t вх, ξ t вых, ξ t ,а

выходной - x t . Это так, поскольку внешний наблюдатель рассматривает наше производство как систему, получающую сырье с интенсивностью d t и производящую продукцию с интенсивностью x t , подвергаясь случайностям ξ t вх, ξ t вых, ξ t . Осуществив все подстановки в полученной системе уравнений, приходим к одному уравнению динамики, характеризующему поведение x t в зависимости от d t , ξ t вх, ξ t вых, ξ t .

Рассмотренная выше модель не содержала ограничений на объемы складов и мощности производства. Если принять, что емкость входного склада равна V вх, емкость выходного склада - V BX , a мощность производства - М, то новая система уравнений для такой нелинейной производственной системы будет следующей:

x t BX =min((d t + ξ t вх),(V вх - u t вх)) - нельзя на входной склад положить больше, чем позволит место;

x вых =min((d t + ξ t вых),(V вых -u t вых)) - нельзя взять с выходного склада больше изделий, чем там имеется;

y t =d t + y(u t вх -u t-1 вх)

x t BX = min((u t вх, (y t-1 + ξ t вх), М, (V вых - u t вых)) - нельзя произвести больше изделий, чем приказано, ограничивающими факторами являются число имеющихся заготовок и наличие свободного места на выходном складе;

u t вх -u t-1 вх = x t BX - x t

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Демидова Анастасия Вячеславовна. Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов: диссертация... кандидата физико-математических наук: 05.13.18 / Демидова Анастасия Вячеславовна;[Место защиты: Российский университет дружбы народов].- Москва, 2014.- 126 с.

Введение

Глава 1. Обзор работ по теме диссертации 14

1.1. Обзор моделей популяционной динамики 14

1.2. Стохастические популяционные модели 23

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения 26

1.4. Сведения по стохастическому исчислению 32

Глава 2. Метод моделирования одношаговых процессов 39

2.1. Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основное кинетическое уравнение 39

2.2. Метод моделирования многомерных одношаговых процессов. 47

2.3. Численное моделирование 56

Глава 3. Применение метода моделирования одношаговых процессов 60

3.1. Стохастические модели популяционной динамики 60

3.2. Стохастические модели популяционных систем с различными меж- и внутривидовыми взаимодействиями 75

3.3. Стохастическая модель распространения сетевых червей. 92

3.4. Стохастические модели пиринговых протоколов 97

Заключение 113

Литература 116

Стохастические дифференциальные уравнения

Одной из задач диссертации является задача записи стохастического дифференциального уравнения для системы так, чтобы стохастический член был связан со структурой изучаемой системы. Одно из возможных решений этой задачи - это получение стохастической и детерминистической частей из одного и тоже уравнения. Для этих целей удобно использовать основное кинетическое уравнение, которое может быть аппроксимировано уравнением Фоккера-Планка, для которого,в свою очередь, можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

Раздел 1.4. содержит основные сведения, необходимые для обозначения связи между стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением Фоккера-Планка, а также основные понятия стохастического исчисления.

Во второй главе приводятся основные сведения из теории случайных процессов и на основе этой теории формулируется метод моделирования одношаговых процессов.

В разделе 2.1 приведены основные сведения из теории случайных одношаговых процессов.

Под одношаговыми процессами понимаются марковские процессы с непрерывным временем, принимающие значения в области целых чисел, матрица перехода которых допускает только переходы между соседними участками.

Рассматривается многомерный одношаговый процесс Х() = (i(),2(), ...,n()) = { j(), = 1, } , (0.1) изменяющийся по на отрезке , т.е. Є , где - длина временного интервала, на котором задан процесс Х(). Множество G = {х, = 1, Є NQ х NQ1 - это множество дискретных значений, которые может принимать случайный процесс.

Для данного одношагового процесса вводятся вероятности переходов в единицу времени s+ и s из состояния Xj в состояние Xj__i и Xj_i соответственно. При этом считается, что вероятность перехода из состояния х на два или белее шагов за единицу времени очень мала. Поэтому можно говорить, что вектор Xj состояния системы изменяются шагами длины Г{ и тогда вместо переходов из х в Xj+i и Xj_i можно рассматривать переходы из X в X + Гі и X - Гі соответственно.

При моделировании систем, в которых временная эволюция происходит в результате взаимодействия элементов системы удобно описывать с помощью основного кинетического уравнения, (другое название управляющее уравнение , а в англоязычной литературе носит название Master equation ).

Далее встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного кинетиче 11 ского уравнения. Формально к стохастическим уравнениям следует отнести лишь уравнения, содержащие стохастические функции. Таким образом, этому определению удовлетворяют лишь уравнения Ланжевена. Однако они связаны непосредственно с другими уравнениями, а именно с уравнением Фоккера-Планка и основным кинетическим уравнением. Поэтому представляется логичным рассматривать все эти уравнения в совокупности. Поэтому для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка, для которого можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

В разделе 2.2 формулируется метод описания и стохастического моделирования систем, описываемых многомерными одношаговыми процессами.

Кроме того, показано, что коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы взаимодействия, вектора изменения состояния r и выражений для вероятностей перехода s+ и s-, т.е. при практическом применении данного метода нет необходимости записывать основное кинетическое уравнение.

В разделе 2.3. рассмотрен метод Рунге-Кутта для численного решения стохастических дифференциальных уравнений, который используется в третьей главе для иллюстрации полученных результатов.

В третьей главе представлена иллюстрация применения, описанного во второй главе метода построения стохастических моделей, на примере систем описывающих динамику роста взаимодействующих популяций, таких как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью является записать их в виде стохастических дифференциальных уравнений и исследовать влияние введения стохастики на поведение системы.

В разделе 3.1. проиллюстрировано применение описанного во второй главе метода на примере модели «хищник-жертва». Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва» широко исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже хорошо известными.

Анализ полученных уравнений показал, что для исследования детерминистического поведения системы, можно использовать вектор сносов A полученного стохастического дифференциального уравнения, т.е. разработанный метод можно использовать для анализа как стохастического, так и детерминистического поведения. Кроме того сделан вывод, что стохастические модели дают более реалистичное описание поведения системы. В частности, для системы «хищник-жертва» в детерминистическом случае, решения уравнений имеют периодический вид и фазовый объем сохраняется, в то время как, введение стохаcтики в модель, дает монотонное возрастание фазового объема, что говорит о неизбежной гибели одной либо обеих популяций. В целях визуализации полученных результатов было проведено численное моделирование.

В разделе 3.2. разработанный метод применяется для получения и анализа различных стохастических моделей популяционной динамики, таких как модель «хищник–жертва» с учётом межвидовой конкуренции среди жертв, симбиоз, конкуренция и модель взаимодействия трех популяций.

Сведения по стохастическому исчислению

Развитие теории случайных процессов привело к переходу в исследования природных явлений от детерминистических представлений и моделей популяционной динамики к вероятностным и как следствие, появление большого числа работ посвященных стохастическому моделированию в математической биологии, химии, экономике и д.р.

При рассмотрении детерминистических популяционных моделей остаются не охваченными такие важные моменты, как случайные влияния различных факторов на эволюцию системы. Описывая популяционную динамику следует учитывать случайный характер размножения и выживания особей, а также случайные колебания, которые происходят в среде со временем и приводят к случайным флуктуациям параметров системы. Поэтому во всякую модель динамики популяций следует вводить вероятностные механизмы, отражающие эти моменты.

Стохастическое моделирование позволяет более полно описать изменения популяционных характеристик с учетом как всех детерминистских факторов, так и случайных эффектов, которые могут существенно изменить выводы из детерминистских моделей. С другой стороны с их помощью можно выявить качественно новые стороны поведения популяции.

Стохастические модели изменения состояний популяции можно описывать с помощью случайных процессов. При некоторых допущениях можно считать, что поведение популяции при условии ее настоящего состояния не зависит от того, каким образом это состояние было достигнуто (т.е. при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого). Т.о. для моделирования процессов популяционной динамики удобно использовать марковские процессы рождения-гибели и соответствующие управляющие уравнения, которые подробно описаны во второй части работы.

Н. Н. Калинкин в своих работах для иллюстрации процессов происходящих в системах с взаимодействующими элементами использует схемы взаимодействия и на базе этих схем строит модели этих систем используя аппарат ветвящихся марковских процессов. Применение такого подхода иллюстрируется на примере моделирования процессов в химических, популяционных, телекоммуникационных и др. системах.

В работе рассматриваются вероятностные популяционные модели, для построения которых используется аппарат процессов рождения-гибели, а получившиеся системы дифференциально-разностных уравнений представляют собой динамические уравнения для случайных процессов. Также в работе рассмотрены методы нахождения решений данных уравнений.

Можно найти много статей посвященных построению стохастических моделей учитывающих различные факторы влияющие на динамику изменения численности популяций. Так,например, в статьях построена и проанализирована модель динамики численности биологического сообщества, в котором особи потребляют пищевые ресурсы, содержащие вредные вещества. А в модели эволюции популяции в статье учитывается фактор расселения представителей популяций в ареалах их обитания. Модель представляет собой систему самосогласованных уравнений Власова.

Стоит отметить работы , которые посвящены теории флуктуа-ций и применению стохастических методов в естественных науках, таких как физика, химия, биология и др. В частности, математическая модель изменения численности популяций, взаимодействующих по типу «хищник-жертва» строиться на базе многомерных марковских процессов рождения-гибели.

Можно рассматривать модель «хищник–жертва» как реализацию процессов рождения–гибели. В такой трактовке возможно их применение для моде 26 лей во многих областях науки. В 70-е годы М. Дои предложена методика изучения таких моделей на основе операторов рождения–уничтожения (по аналогии со вторичным квантованием). Здесь можно отметить работы . Кроме того сейчас этот метод активно развивается в группе М. М. Гнатича .

Еще один подход к моделированию и изучению моделей популяцион-ной динамики связан с теорией оптимального управления. Здесь можно отметить работы .

Можно отметить, что большинство работ посвященных построению стохастических моделей популяционных процессов использует аппарат случайных процессов для получение дифференциально-разностных уравнений и последующей численной реализации. Кроме того широко применяется стохастические дифференциальные уравнения в форме Ланжевена, в которых стохастический член добавляется из общих соображений о поведении системы и призван описать случайные воздействия окружающей среды . Дальнейшим исследованием модели является их качественный анализ или нахождение решений с помощью численных методов.

Стохастические дифференциальные уравнения Определение 1. Стохастическое дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, в котором один член или более представляют собой стохастический процесс. Наиболее используемый и хорошо известный пример стохастического дифференциального уравнения (СДУ) - это уравнение с членом, который описывает белый шум и его можно рассматривать как винеровский процесс Wt, t 0.

Стохастические дифференциальные уравнения являются важным и широко используемым математическим аппаратом при изучении и моделировании динамических систем, которые подвержены различным случайным возмущениям.

Началом стохастического моделирования природных явлений принято считать описание явления броуновского движения, которое открыто Р. Броуном в 1827 году, когда он проводил исследования движения пыльцы растений в жидкости. Первое строгое объяснение этого явления независимо друг от друга дали А. Эйнштейн и М. Смолуховский. Стоит отметить сборник статей в котором собраны работы А. Эйнштейна и М. Смолухов-ского по броуновскому движению. Эти исследования внесли значительный вклад в развитие теории броуновского движения и ее экспериментальную проверку. А. Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения. Полученные формулы были подтверждены опытами Ж. Перрена в 1908-1909 гг.

Метод моделирования многомерных одношаговых процессов.

Для описания эволюции систем с взаимодействующими элементами существует два подхода - это построение детерминистической или стохастической моделей. В отличии от детерминистических, стохастические модели позволяют учесть вероятностный характер процессов происходящих в изучаемых системах, а также воздействия внешней среды, которые вызывают случайные флуктуации параметров модели.

Предметом изучения являются системы, процессы происходящие в которых могут быть описаны с помощью одношаговых процессов и таких, в которых переход их одного состояния в другое связан с взаимодействием элементов системы. Примером могут служить модели описывающие динамику роста взаимодействующих популяций, такие как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью является записать для таких систем СДУ и исследовать влияние введения стохастической части на поведение решения уравнения, описывающего детерминистическое поведение.

Химическая кинетика

Системы уравнений, возникающие при описании систем с взаимодействующими элементами, во многом близки системам дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций. Так, например, система Лотки-Вольтерра была первоначально выведена Лоткой как систе 48 ма, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию, и лишь позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую модель «хищник-жертва».

Химическая кинетика описывает химические реакции с помощью, так называемых стехиометрических уравнений - уравнений отражающих количественные соотношения реагентов и продуктов химической реакции и имеющих следующий общий вид : где натуральные числа ті и Щ называются стехиометрическими коэффициентами. Это символическая запись химической реакции, в которой ті молекул реагента Xi, ni2 молекул реагента Хч, ..., тр молекул реагента Хр, вступив в реакцию образуют щ молекул вещества Уї, щ молекул вещества І2, ..., nq молекул вещества Yq соответственно.

В химической кинетике полагается, что химическая реакция может происходить только при непосредственном взаимодействии реагентов, а скорость химической реакции определяется как число частиц образовавшихся в единицу времени в еденице объема.

Основным постулатом химической кинетики является закон действующих масс, который говорит о том, что скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ в степенях их стехиометрических коэффициентов. Поэтому, если обозначить через ХІ и у І концентрации соответствующих веществ, то имеем уравнение для скорости изменения концентрации какого-либо вещества во времени в результате химической реакции :

Далее предлагается использовать основные идеи химической кинетики для описания систем, эволюция во времени которых происходит в результате взаимодействия друг с другом элементов данной системы, внеся следующие основные изменения: 1. рассматриваются не скорости реакций, а вероятности переходов; 2. предлагается, что вероятность перехода из одного состояния в другое, являющегося следствием взаимодействия, пропорциональна числу возможных взаимодействий данного типа; 3. для описания системы в данном методе используется основное кинетическое уравнение; 4. детерминистические уравнения заменяются стохастическими. Подобный подход к описанию таких систем можно найти в работах . Для описания процессов происходящих в моделируемой системе предполагается использовать, как уже отмечалось выше, марковские одношаговые процессы.

Рассмотрим систему состоящую из типов различных элементов, которые могут взаимодействовать между собой различными способами. Обозначим через элемент -того типа, где = 1, а через - количество элементов -того типа.

Пусть (), .

Сделаем предположение, что файл состоит из одной части. Таким образом за один шаг взаимодействия нового узла, желающего скачать файл, и узла, раздающего файл, новый узел скачивает весь файл и становится раздающим узлом.

Пусть - это обозначение нового узла, - это раздающий узел, а - коэффициент взаимодействия. Новые узлы могут приходить в систему с интенсивностью, а раздающие узлы уходить из нее с интенсивностью. Тогда схема взаимодействия и вектор г будет иметь вид:

Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена мож 100 но получить воспользовавшись соответствующей формулой (1.15). Т.к. вектор сносов A полностью описывает детермистическое поведеие системы можно получить систему обыкновеных дифференциальных уравнений, описывающих динамику численности новых клиентов и сидов:

Таким образом, в зависимости от выбора параметров особая точка может иметь разный характер. Так при /ЗА 4/І2 особая точка является устойчивым фокусом, а при обратном соотношении - устойчивый узел. В обоих случаях особая точка является устойчивой, так как выбора значений коэффициентов, изменения переменных системы может происходить по одной из двух траекторий. Если особая точка является фокусом, то в системе происходят затухающие колебания численностей новых и раздающих узлов (см. рис. 3.12). А в узловом случае приближение численностей к стационарным значениям происходит в бесколебательном режиме (см. рис. 3.13). Фазовые портреты системы для каждого из двух случаев изображены, соответственно, на графиках(3.14) и (3.15).