1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны.
2. Волновой фронт. Скорость и длина волны.
3. Уравнение плоской волны.
4. Энергетические характеристики волны.
5. Некоторые специальные разновидности волн.
6. Эффект Доплера и его использование в медицине.
7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани.
8. Основные понятия и формулы.
9. Задачи.
2.1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны
Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.
Например, если в жидкую или газообразную среду поместить колеблющееся тело, то колебательное движение тела будет передаваться прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела. Эта частота называется частотой волны.
Волной называется процесс распространения механических колебаний в упругой среде.
Частотой волны называется частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.
С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают
периодические деформации, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Сами частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
В соответствии с частотой механические волны делятся на различные диапазоны, которые указаны в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Шкала механических волн
В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.
Продольные волны - волны, при распространении которых частицы среды колеблются вдоль той же прямой, по которой распространяется волна. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения.
Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).
Поперечные волны - волны, при распространении которых частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не образуются. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.
2.2. Волновой фронт. Скорость и длина волны
В природе не существует процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом среда делится на две области: область, точки которой уже вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области, называется фронтом волны.
Фронт волны - геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошло колебание (возмущение среды).
При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны.
Скоростью волны (v) называется скорость перемещения ее фронта.
Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.
Скорость распространения всех типов волн определяется при условии слабого затухания волны следующим выражением:
где G - эффективный модуль упругости, ρ - плотность среды.
Скорость волны в среде не следует путать со скоростью движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с.
Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку - плоские и сферические.
Плоской называется волна, у которой фронтом является плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.
Амплитуда плоской волны остается практически неизменной. Ее слабое уменьшение по мере удаления от источника волны связано с вязкостью жидкой или газообразной среды.
Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы.
Такой, например, является волна, вызываемая в жидкой или газообразной среде пульсирующим сферическим источником.
Амплитуда сферической волны при удалении от источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Для описания ряда волновых явлений, например интерференции и дифракции, используют специальную характеристику, называемую длиной волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время, равное периоду колебаний частиц среды:
Здесь v - скорость волны, Т - период колебаний, ν - частота колебаний точек среды, ω - циклическая частота.
Так как скорость распространения волны зависит от свойств среды, то длина волны λ при переходе из одной среды в другую изменяется, в то время как частота ν остается прежней.
Данное определение длины волны имеет важную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 2.1 а, на котором показаны смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение фронта волны отмечено точками А и В.
Через время Т, равное одному периоду колебаний, фронт волны переместится. Его положения показаны на рис. 2.1, б точками А 1 и В 1 . Из рисунка видно, что длина волны λ равна расстоянию между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе, например расстоянию между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения.
Рис. 2.1.
Геометрическая интерпретация длины волны
2.3. Уравнение плоской волны
Волна возникает в результате периодических внешних воздействий на среду. Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гармоническими колебаниями источника:
где х и - смещение источника, А - амплитуда колебаний, ω - круговая частота колебаний.
Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны равна v, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время τ = s/v. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t - s/v), а амплитуда колебаний останется практически неизменной. В результате колебания данной точки будут определяться уравнением
Здесь мы использовали формулы для круговой частоты (ω
= 2π/Т) и длины волны (λ
= v
T).
Подставив это выражение в исходную формулу, получим
Уравнение (2.2), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны. Аргумент при косинусе - величина φ = ωt - 2π s/λ - называется фазой волны.
2.4. Энергетические характеристики волны
Среда, в которой распространяется волна, обладает механической энергией, складывающейся из энергий колебательного движения всех ее частиц. Энергия одной частицы с массой m 0 находится по формуле (1.21): Е 0 = m 0 Α 2 ω 2 /2. В единице объема среды содержится n = p /m 0 частиц (ρ - плотность среды). Поэтому единица объема среды обладает энергией w р = nЕ 0 = ρ Α 2 ω 2 /2.
Объемная плотность энергии (\¥ р) - энергия колебательного движения частиц среды, содержащихся в единице ее объема:
где ρ - плотность среды, А - амплитуда колебаний частиц, ω - частота волны.
При распространении волны энергия, сообщаемая источником, переносится в удаленные области.
Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.
Поток энергии (Ф) - величина, равная энергии, переносимой волной через данную поверхность за единицу времени:
Интенсивность волны или плотность потока энергии (I) - величина, равная потоку энергии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:
Можно показать, что интенсивность волны равна произведению скорости ее распространения на объемную плотность энергии
2.5. Некоторые специальные разновидности
волн
1. Ударные волны. При распространении звуковых волн скорость колебания частиц не превышает нескольких см/с, т.е. она в сотни раз меньше скорости волны. При сильных возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью, мощный электрических разряд) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной.
При взрыве нагретые до высоких температур продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха.
Ударная волна - распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит скачкообразное возрастание давления, плотности и скорости движения вещества.
Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50 % всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.
2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физиком В. Стреттом (лордом Релеем) в 90-х годах 19 века. В идеальном случае волны Релея распространяются вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое.
Поверхностные волны - волны, которые распространяются вдоль свободной поверхности тела или вдоль границы тела с другими средами и быстро затухают при удалении от границы.
Примером таких волн могут служить волны в земной коре (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине волны λ, объемная плотность энергии волны составляет приблизительно 0,05 ее объемной плотности на поверхности. Амплитуда смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает.
3. Волны возбуждения в активных средах.
Активно возбудимая, или активная, среда - непрерывная среда, состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает запасом энергии.
При этом каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: 1 - возбуждение, 2 - рефрактерность (невозбудимость в течение определенного времени после возбуждения), 3 - покой. В возбуждение могут перейти элементы только из состояния покоя. Волны возбуждения в активных средах называют автоволнами. Автоволны - это самоподдерживающиеся волны в активной среде, сохраняющие свои характеристики постоянными за счет распределенных в среде источников энергии.
Характеристики автоволны - период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и форма - в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. В табл. 2.2 представлено сходство и различие автоволн и обычных механических волн.
Автоволны можно сопоставить с распространением пожара в степи. Пламя распространяется по области с распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии - вся трава выгорела.
Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется при изучении распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.
Таблица 2.2. Сравнение автоволн и обычных механических волн
2.6. Эффект Доплера и его использование в медицине
Христиан Доплер (1803-1853) - австрийский физик, математик, астроном, директор первого в мире физического института.
Эффект Доплера состоит в изменении частоты колебаний, воспринимаемой наблюдателем, вследствие относительного движения источника колебаний и наблюдателя.
Эффект наблюдается в акустике и оптике.
Получим формулу, описывающую эффект Доплера, для случая, когда источник и приемник волны движутся относительно среды вдоль одной прямой со скоростями v И и v П соответственно. Источник совершает гармонические колебания с частотой ν 0 относительно своего равновесного положения. Волна, созданная этими колебаниями, распространяется в среде со скоростью v. Выясним, какую частоту колебаний зафиксирует в этом случае приемник.
Возмущения, создаваемые колебаниями источника, распространяются в среде и достигают приемника. Рассмотрим одно полное колебание источника, которое начинается в момент времени t 1 = 0
и заканчивается в момент t 2 = T 0 (T 0 - период колебаний источника). Возмущения среды, созданные в эти моменты времени, достигают приемника в моменты t" 1 и t" 2 соответственно. При этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой:
Найдем моменты t" 1 и t" 2 для случая, когда источник и приемник движутся навстречу
друг другу, а начальное расстояние между ними равно S. В момент t 2 = T 0 это расстояние станет равным S - (v И + v П)T 0 , (рис. 2.2).
Рис. 2.2.
Взаимное расположение источника и приемника в моменты t 1 и t 2
Эта формула справедлива для случая, когда скорости v и и v п направлены навстречу
друг другу. В общем случае при движении
источника и приемника вдоль одной прямой формула для эффекта Доплера принимает вид
Для источника скорость v И берется со знаком «+», если он движется в направлении приемника, и со знаком «-» в противном случае. Для приемника - аналогично (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Выбор знаков для скоростей источника и приемника волн
Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук, имеющий частоту ν 0 , который распространяется в среде со скоростью v. Навстречу системе со скоростью v т движется некоторое тело. Сначала система выполняет роль источника (v И = 0), а тело - роль приемника (v Tl = v Т). Затем волна отражается от объекта и фиксируется неподвижным приемным устройством. В этом случае v И = v Т, а v п = 0.
Применив формулу (2.7) дважды, получим формулу для частоты, фиксируемой системой после отражения испущенного сигнала:
При приближении
объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается,
а при удалении - уменьшается.
Измерив доплеровский сдвиг частоты, из формулы (2.8) можно найти скорость движения отражающего тела:
Знак «+» соответствует движению тела навстречу излучателю.
Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 2.4.
Рис. 2.4.
Схема установки для измерения скорости крови: 1 - источник ультразвука, 2 - приемник ультразвука
Установка состоит из двух пьезокристаллов, один из которых служит для генерации ультразвуковых колебаний (обратный пьезоэффект), а второй - для приема ультразвука (прямой пьезоэффект), рассеянного кровью.
Пример . Определить скорость кровотока в артерии, если при встречном отражении ультразвука (ν 0 = 100 кГц = 100 000 Гц, v = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты ν Д = 40 Гц.
Решение. По формуле (2.9) найдем:
v 0 = v Д v /2v 0 = 40x 1500/(2x 100 000) = 0,3 м/с.
2.7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани
1. Анизотропия распространения поверхностных волн. При исследовании механических свойств кожи с помощью поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) проявляется акустическая анизотропия кожи. Это выражается в том, что скорости распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль вертикальной (Y) и горизонтальной (Х) осей тела - различаются.
Для количественной оценки степени выраженности акустической анизотропии используется коэффициент механической анизотропии, который вычисляется по формуле:
где v у - скорость вдоль вертикальной оси, v x - вдоль горизонтальной оси.
Коэффициент анизотропии принимается за положительный (К+), если v y > v x при v y < v x коэффициент принимается за отрицательный (К -). Численные значения скорости поверхностных волн в коже и степени выраженности анизотропии являются объективными критериями для оценки различных воздействий, в том числе и на кожу.
2. Действие ударных волн на биологические ткани. Во многих случаях воздействия на биологические ткани (органы) необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны.
Так, например, ударная волна возникает при ударе тупым предметом по голове. Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том, чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске, которая на первый взгляд кажется необходимой лишь для вентиляции.
Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них высокоинтенсивного лазерного излучения. Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или иные) изменения. Это, например, имеет место в косметологических процедурах. Поэтому, для того чтобы снизить вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств как излучения, так и самой кожи.
Рис. 2.5.
Распространение радиальных ударных волн
Ударные волны используются в радиальной ударно-волновой терапии. На рис. 2.5 показано распространение радиальных ударных волн от аппликатора.
Такие волны создаются в приборах, снабженных специальным компрессором. Радиальная ударная волна генерируется пневматическим методом. Поршень, находящийся в манипуляторе, двигается с большой скоростью под воздействием управляемого импульса сжатого воздуха. Когда поршень ударяет по аппликатору, установленному в манипуляторе, его кинетическая энергия превращается в механическую энергию области тела, на которую оказывалось воздействие. При этом для снижения потерь при передаче волн в воздушной прослойке, находящейся между аппликатором и кожей, и для обеспечения хорошей проводимости ударных волн используется контактный гель. Обычный режим работы: частота 6-10 Гц, рабочее давление 250 кПа, число импульсов за сеанс - до 2000.
1. На корабле включают сирену, подающую сигналы в тумане, и спустя t = 6,6 с слышно эхо. Как далеко находится отражающая поверхность? Скорость звука в воздухе v = 330 м/с.
Решение
За время t звук проходит путь 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 м. Ответ: S = 1090 м.
2. Каков минимальный размер предметов, положение которых могут определить летучие мыши с помощью своего сенсора, имеющего частоту 100 000 Гц? Каков минимальный размер предметов, которые могут обнаружить дельфины с использованием частоты 100 000 Гц?
Решение
Минимальные размеры предмета равны длине волны:
λ 1 = 330 м/с / 10 5 Гц = 3,3 мм. Таков примерно размер насекомых, которыми питаются летучие мыши;
λ 2 = 1500 м/с / 10 5 Гц = 1,5 см. Дельфин может обнаружить небольшую рыбку.
Ответ: λ 1 = 3,3 мм; λ 2 = 1,5 см.
3. Сначала человек видит вспышку молнии, а через 8 с после этого слышит удар грома. На каком расстоянии от него сверкнула молния?
Решение
S = v зв t = 330x 8 = 2640 м. Ответ: 2640 м.
4. Две звуковые волны имеют одинаковые характеристики, за исключением того, что длина волны одной в два раза больше, чем у другой. Которая из них переносит большую энергию? Во сколько раз?
Решение
Интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату частоты (2.6) и обратно пропорциональна квадрату длины волны (ω = 2πv/λ). Ответ: та, у которой длина волны меньше; в 4 раза.
5. Звуковая волна, имеющая частоту 262 Гц, распространяется в воздухе со скоростью 345 м/с. а) Чему равна ее длина волны? б) За какое время фаза в данной точке пространства меняется на 90°? в) Чему равна разность фаз (в градусах) между точками, отстоящими друг от друга на 6,4 см?
Решение
а) λ = v/ν = 345/262 = 1,32 м;
в) Δφ = 360°s/λ= 360x 0,064/1,32 = 17,5°. Ответ: а) λ = 1,32 м; б) t = T/4; в) Δφ = 17,5°.
6. Оценить верхнюю границу (частоту) ультразвука в воздухе, если известна скорость его распространения v = 330 м/с. Считать, что молекулы воздуха имеют размер порядка d = 10 -10 м.
Решение
В воздухе механическая волна является продольной и длина волны соответствует расстоянию между двумя ближайшими сгущениями (или разряжениями) молекул. Так как расстояние между сгущениями никак не может быть меньше размеров молекул, то заведомо предельным случаем следует считать d = λ. Из этих соображений имеем ν = v/λ = 3,3x 10 12 Гц. Ответ: ν = 3,3x 10 12 Гц.
7. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями v 1 = 20 м/с и v 2 = 10 м/с. Первая машина подает сигнал с частотой ν 0 = 800 Гц. Скорость звука v = 340 м/с. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин; б) после встречи машин?
8.
Когда поезд проходит мимо, Вы слышите, как частота его свистка изменяется от ν 1 = 1000 Гц (при приближении) до ν 2 = 800 Гц (когда поезд удаляется). Чему равна скорость поезда?
Решение
Эта задача отличается от предыдущих тем, что нам неизвестна скорость источника звука - поезда - и неизвестна частота его сигнала ν 0 . Поэтому получается система уравнений с двумя неизвестными:
Решение
Пусть v - скорость ветра, и он дует от человека (приемник) к источнику звука. Относительно земли они неподвижны, а относительно воздушной среды оба движутся вправо со скоростью u.
По формуле (2.7) получим частоту звука. воспринимаемую человеком. Она неизменна:
Ответ:
частота не изменится.
Вопросы.
1. Что называется длиной волны?
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками колеблющимися в одинаковых фазах.
2. Какой буквой обозначается длина волны?
Длина волны обозначается греческой буквой λ (лямбда).
3. За какое время колебательный процесс распространяется на расстояние, равное длине волны?
Колебательный процесс распространяется на расстояние равное длине волны λ за период полного колебания Т.
5. Расстояние между какими точками равно длине продольной волны, изображенной на рисунке 69?
Длина продольной волны на рисунке 69 равна расстоянию между точками 1 и 2 (максимум волны) и 3 и 4 (минимум волны).
Упражнения.
1. С какой скоростью распространяется волна в океане, если длина волны равна 270 м, а период колебаний равен 13,5 с?
.jpg)
2. Определите длину волны при частоте 200 Гц, если скорость распространения волны равна 340 м/с.
.jpg)
3. Лодка качается на волнах, распространяющихся со скоростью 1,5 м/с. Расстояние между двумя ближайшими гребнями волн равно 6 м. Определите период колебаний лодки.
Помимо уже рассмотренных нами движений, почти во всех областях физики встречается ещё один тип движения – волны . Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения).
Возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются волнами . Волны бывают механические и электромагнитные.
Упругие волны – это распространяющиеся возмущения упругой среды.
Возмущение упругой среды – это любое отклонение частиц этой среды от положения равновесия. Возмущения возникают в результате деформации среды в каком-либо её месте.
Совокупность всех точек, куда дошла волна в данный момент времени, образует поверхность, называемую фронтом волны .
По форме фронта волны делятся на сферические и плоские. Направление распространения фронта волны определяется перпендикуляром к фронту волны, называемым лучом . Для сферической волны лучи представляют собой радиально расходящийся пучок. Для плоской волны лучи- пучок параллельных прямых.
В любой механической волне одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространения возмущения.
Волна, в которой колебания частиц среды и распространение возмущения происходят в одном направлении, называется продольной (рис.7.2 а ).
Волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения возмущений, называется поперечной (рис. 7.2 б).
В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной - смещения (сдвига) одних слоев среды относительно других. Продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных), а поперечные - только в твёрдых.
Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны υ понимают скорость распространения возмущения. Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твёрдых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных.
Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в её источнике . Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденной волной расстояние равно произведению скорости на время её распространения. Таким образом, длина волны
Из уравнения (7.1) следует, что частицы, отделённые друг от друга интервалом λ, колеблются в одинаковой фазе. Тогда можно дать следующее определение длины волны: длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Выведем уравнение плоской волны, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени. Пусть волна распространяется вдоль луча от источника с некоторой скоростью υ.
Источник возбуждает простые гармонические колебания, и смещение любой точки волны в любой момент времени определяетcz уравнением
S = Asinωt (7. 2)
Тогда точка среды, отстоящая от источника волны на расстоянии х, также будет совершать гармонические колебания, но с запаздыванием по времени на величину , т.е. на время, необходимое для распространения колебаний от источника до этой точки. Смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия в любой момент времени будет описываться соотношением
(7. 3)
Это и есть уравнение плоской волны. Эта волна, характеризуется следующими параметрами:
· S - смещение от положения равновесии точки упругой среды, до которой дошло колебание;
· ω - циклическая частота колебаний, генерируемых источником, с которой колеблются и точки среды;
· υ - скорость распространения волны (фазовая скорость);
· х – расстояние до той точки среды, куда дошло колебание и смещение которой равно S;
· t – время отсчитываемое от начала колебаний;
Вводя в выражение (7. 3) длину волны λ, уравнение плоской волны можно записать так:
(7. 4)
где называется волновым числом (число волн, приходящихся на единицу длины).
Волновое уравнение
Уравнение плоской волны (7. 5) - одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым . В уравнения (7.5) входят переменные t и х, т.е. смещение периодически меняется и во времени и в пространстве S = f(x, t). Волновое уравнение можно получить, если продифференцировать (7. 5) дважды по t:
И дважды по х
Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение плоской бегущей волны вдоль оси X:
(7. 6)
Уравнение (7.6) называют волновым , и для общего случая, когда смещение является функцией четырех переменных, оно имеет вид
(7.7)
, где -оператор Лапласа
§ 7.3 Энергия волны. Вектора Умова .
При распространении в среде плоской волны
(7.8)
происходит перенос энергии. Мысленно выделим элементарный объем ∆V, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех его точках можно считать одинаковыми и равными соответственно
Выделенный объём обладает кинетической энергией
(7.10)
m=ρ∆V - масса вещества в объеме ∆V, ρ - плотность среды].
(7.11)
Подставляя в (7.10) значение , получаем
(7.12)
Максимумы кинетической энергии приходятся на те точки среды, которые проходят положения равновесия в данный момент времени (S = 0), в эти моменты времени колебательное движение точек среды характеризуется наибольшей скоростью.
Рассматриваемый объем ∆V обладает также потенциальной энергией упругой деформации
[Е - модуль Юнга; - относительное удлинение или сжатие].
Учитывая формулу (7.8) и выражение для производной, находим, что потенциальная энергия равна
(7.13)
Анализ выражений (7.12) и (7.13) показывает, что максимумы потенциальной и кинетической энергий совпадают. Следует отметить, что это является характерной особенностью бегущих волн. Чтобы определить полную энергию объема ∆V, нужно взять сумму потенциальной и кинетической энергий:
Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии:
(7.15)
Из выражения (7.15) следует, что плотность энергии является функцией координаты х, т. е. в различных точках пространства она имеет различные значения. Максимального значения плотность энергии достигает в тех точках пространства, где смещение равно нулю (S = 0). Средняя плотность энергии в каждой точке среды равна
(7.16)
так как среднее значение 
Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии, которая доставляется от источника колебаний в различные области среды.
Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называют вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Длина волны. Скорость распространения волны». На этом уроке вы сможете познакомиться с особенными характеристиками волн. В первую очередь вы узнаете, что такое длина волны. Мы рассмотрим ее определение, способ ее обозначения и измерения. Затем мы также подробно рассмотрим скорость распространения волны.
Для начала вспомним, что механическая волна – это колебание, которое распространяется с течением времени в упругой среде. Раз это колебание, волне будут присущи все характеристики, которые соответствуют колебанию: амплитуда, период колебания и частота.
Кроме этого, у волны появляются свои особые характеристики. Одной из таких характеристик является длина волны . Обозначается длина волны греческой буквой (лямбда, или говорят «ламбда») и измеряется в метрах. Перечислим характеристики волны:
Что такое длина волны?
Длина волны - это наименьшее расстояние между частицами, совершающими колебание с одинаковой фазой.
Рис. 1. Длина волны, амплитуда волны
Говорить о длине волны в продольной волне сложнее, потому что там пронаблюдать частицы, которые совершают одинаковые колебания, гораздо труднее. Но и там есть характеристика - длина волны , которая определяет расстояние между двумя частицами, совершающими одинаковое колебание, колебание с одинаковой фазой.
Также длиной волны можно назвать расстояние, пройденное волной, за один период колебания частицы (рис. 2).
Рис. 2. Длина волны
Следующая характеристика - это скорость распространения волны (или просто скорость волны). Скорость волны обозначается так же, как и любая другая скорость, буквой и измеряется в . Как наглядно объяснить, что такое скорость волны? Проще всего это сделать на примере поперечной волны.
Поперечная волна - это волна, в которой возмущения ориентированы перпендикулярно направлению ее распространения (рис. 3).
Рис. 3. Поперечная волна
Представьте себе летящую над гребнем волны чайку. Ее скорость полета над гребнем и будет скоростью самой волны (рис.4).
Рис. 4. К определению скорости волны
Скорость волны зависит от того, какова плотность среды, каковы силы взаимодействия между частицами этой среды. Запишем связь между скоростью волны, длиной волны и периодом волны: .
Скорость можно определить, как отношение длины волны, расстояние, пройденное волной за один период, к периоду колебания частиц среды, в которой распространяется волна. Кроме этого, вспомним, что период связан с частотой следующим соотношением:
Тогда получим соотношение, которое связывает скорость, длину волны и частоту колебаний: .
Мы знаем, что волна возникает в результате действия внешних сил. Важно заметить, что при переходе волны из одной среды в другую изменяются ее характеристики: скорость движения волн, длина волны. А вот частота колебания остается прежней.
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
- Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. - 14-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2009. - 300 с.
- Интернет-портал «eduspb» ()
- Интернет-портал «eduspb» ()
- Интернет-портал «class-fizika.narod.ru» ()
Домашнее задание
Что нужно знать и уметь?
1.Определение длины волны.
Длина волны - это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
ЭТО ИНТЕРЕСНО
Сейсмические волны.
Сейсмическими волнами называются волны, распространяющиеся в Земле от очагов землетрясений или каких-нибудь мощных взрывов. Так как Земля в основном твердая, в ней одновременно могут возникать 2 вида волн - продольные и поперечные. Скорость этих волн разная: продольные распространяются быстрее поперечных. Например, на глубине 500 км скорость поперечных сейсмических волн 5км/с, а скорость продольных волн - 10км/с.
Регистрацию и запись колебаний земной поверхности, вызанных сейсмическими волнами, осуществляют с помощью приборов - сейсмографов. Распространяясь от очага землетрясения, первыми на сейсмическую станцию приходят продольные волны, а спустя некоторое время - поперечные. Зная скорость распространения сейсмических волн в земной коре и время запаздывания поперечной волны, можно определить расстояние до центра землетрясения. Чтобы узнать точнее, где он находится, используют данные нескольких сейсмических станций.
Ежегодно на земном шаре регистрируют сотни тысяч землетрясений. Подавляющее большинство из них относится к слабым, однако время от времени наблюдаются и такие. которые нарушают целостность грунта, разрушают здания и ведут к человеческим жертвам.
Интенсивность землетрясений оценивается по 12-бальной шкале.
1948 год - г. Ашхабад -землетрясение 9-12 баллов
1966 год - г. Ташкент - 8 баллов
1988 год - г. Спитак - погибло несколько десятков тысяч человек
1976 год - Китай -число жертв сотни тысяч человек
Противостоять разрушительным последствиям землетрясений возможно только путем строительства сейсмостойких зданий. Но в каких районах Земли случится следующее землетрясение?
Предсказание землетрясений - сложнейшая задача. Решением этой задачи заняты многие научно-исследовательские институты многих стран мира. Исследование сейсмических волн внутри нашей Земли позволяет изучить глубинное строение планеты. Кроме того, сейсмическая разведка помогает обнаруживать места, благоприятные для скопления нефти и газа. Сейсмические исследования проводятся не только на Земле, но и на других небесных телах.
В 1969 году американские астронавты разместили сейсмические станции на Луне. Ежегодно они регистрировали от 600 до 3000 слабых лунотрясений. В 1976 году с помощью космического корабля "Викинг" (США) сейсмограф был установлен на Марсе..
СДЕЛАЙ САМ
Волны на бумаге.
С помощью звучащей трубки можно поставить немало опытов.
Если, например, на мягкую подложку, лежащую на столе, положить лист плотной светлой бумаги, сверху насыпать слой кристаллов марганцовки, посредине листа вертикально поставить стеклянную трубку и возбудить в ней трением колебания, то при появлении звука кристаллы марганцовки придут в движение и образуют красивые линии. Трубка должна лишь слегка касаться поверхности листа. Появляющийся на листе рисунок будет зависеть от длины трубки.
Трубка возбуждает колебания в бумажном листе. В листе бумаги образуется стоячая волна, которая является результатом интерференции двух бегущих волн. От конца колеблющейся трубки возникает круговая волна, которая без изменения фазы отражается от края бумаги. Эти волны когерентны и интерферируют, распределяя на бумаге кристаллики марганцовки в причудливые узоры.
ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В своей лекции "О корабельных волнах" лорд Кельвин рассказывал:
"...одно открытие фактически сделано лошадью, ежедневно тащившей лодку по канату между Глазго
и Ардроссаном. Однажды лошадь понеслась, и возница, будучи наблюдательным человеком, заметил, что, когда лошадь достигла определенной скорости, тянуть лодку стало явно легче
и позади нее не осталось волнового следа".
Объяснение этого явления заключается в том, что скорость лодки и скорость волны, которую возбуждает лодка в реке, совпали.
Если бы лошадь побежала еще быстрее (скорость лодки стала бы больше скорости волны),
то за лодкой возникла бы ударная волна.
Ударная волна от сверхзвукового самолета возникает точно так же.
