С линейными величинами.
Угловое перемещение - векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе её движения.
Углова́я ско́рость - векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) - радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, - физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости - просто ). В технике также используются обороты в секунду, намного реже - градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту - это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли, просто «вручную» подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью определяется формулой:
где - радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) r от оси вращения можно считать так: v = rω. Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути - если плоскость вращения заведомо известна - может быть заменена скаляром - проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
Где - радиус-вектор точки (из начала координат), - скорость этой точки. - векторное произведение, - скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому - произвольно - выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) - эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения - единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.
В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.
При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц)
(то есть в таких единицах ).
В случае использования обычной физической единицы угловой скорости - радианов в секунду - модуль угловой скорости связан с частотой вращения так:
Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет:
Углово́е ускоре́ние - псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.
При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно:
Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно - при замедленном).
При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени, то есть
и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.
Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:
где R - радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорении равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек2 .
Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом D . Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняетсяправилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называютсяпсевдовекторами илиаксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim w=T – 1 , а ее единица - радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:
При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R .
Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует = 2p, то = 2p/T , откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном - противонаправлен ему (рис.9).
Тангенциальная составляющая ускорения
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейными (длина пути s , пройденного точкой по дуге окружности радиуса R , линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:
В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)
где w 0 - начальная угловая скорость.
Законы Ньютона.
Первый закон Ньютона. Масса. Сила
Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.
Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .
Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.
Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).
Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).
Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.
Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:
а ~ F (т = const) . (6.1)
При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно
а ~ 1/т (F = const) . (6.2)
Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение-величины векторные, можем записать
а = kF/m. (6.3)
Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).
В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда
(6.4)
Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:
Векторная величина
численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.
Подставляя (6.6) в (6.5), получим
Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .
Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:
1 Н = 1 кг×м/с 2 .
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).
В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F=m a разложена на два компонента: тангенциальную силу F t , (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:
Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.
Третий закон Ньютона
Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:
F 12 = – F 21 , (7.1)
где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;
F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.
Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.
Элементарный угол поворота, угловая скорость
Рисунок 9.Элементарный угол поворота ()
Элементарные (бесконечно малые) повороты рассматривают как векторы. Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта.
Угловая скорость
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор (см. рисунок 10).
Рисунок 10.
Рисунок 11
Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени.
Связь модулей линейной и угловой скоростей
Рисунок 12
Связь векторов линейной и угловой скоростей
Положение рассматриваемой точки задается радиусом-вектором (проводится из лежащего на оси вращения начала координат 0). Векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный
Единица угловой скорости - .
Псевдовекторы (аксиальные векторы) - векторы, направления которых связываются с направлением вращения (например,). Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки на оси вращения.
Равномерное движение материальной точки по окружности
Равномерное движение по окружности - движение, при котором материальная точка (тело) за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
Угловая скорость
: (-- угол поворота).
Период вращения Т - время, за которое материальная точка совершает один полный оборот по окружности, т. е. поворачивается на угол.
Так как промежутку времени соответствует, то.
Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых материальной точкой при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени.
Рисунок 13
Характерная особенность равномерного движения по окружности
Равномерное движение по окружности -- частный случай криволинейного движения. Движение по окружности со скоростью, постоянной по модулю (), является ускоренным. Это обусловлено тем, что при постоянном модуле направление скорости все время изменяется.
Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности
Тангенциальная составляющая ускорения при равномерном движении точки по окружности равна нулю.
Нормальная составляющая ускорения (центростремительное ускорение) направлена по радиусу к центру окружности (см. рисунок 13). В любой точке окружности вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости. Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности в любой ее точке, центростремительное.
Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин
Угловое ускорение - векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени.
Направление вектора углового ускорения
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.
При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору, при замедленном - противонаправлен ему. Вектор -- псевдовектор.
Единица углового ускорения - .
Связь линейных и угловых величин
(-- радиус окружности; -- линейная скорость; -- тангенциальное ускорение; -- нормальное ускорение; -- угловая скорость).
Углы Эйлера, самолетные (корабельные) углы.
Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.3):
1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение, (в).
2. Поворот вокруг на угол нутации . При этом, . (4.10)
4. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения
Для лучшего понимания на рис.4.4 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его
Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить тремя поворотами (повернуть самостоятельно!) (рис.4.5):
1. Поворот вокруг на угол рысканья , при этом
2. Поворот вокруг на угол тангажа, при этом (4.12)
3.Поворот на угол крена вокруг
Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей
1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья)
2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа») (4.13)
3. Поворот вокруг на угол рысканья
Впрочем, тождественность (4.12) и (4.13) также необходимо доказать.
Запишем очевидную векторную формулу для вектора положения какой-либо точки (рис.4.6) в матричном виде. Найдем координаты вектора относительно отсчетного базиса. Разложим вектор по актуальному базису и введем «перенесенный» вектор, координаты которого в отсчетном базисе равны координатам вектора в актуальном; иными словами, - «повернутый» вместе с телом вектор (Рис.4.6).
| Рис. 4.6. |
Раскладывая векторы по отсчетному базису,получим
Введем матрицу поворота и столбцы,
Векторная формула в матричной записи имеет вид
1. Матрица поворота является ортогональной, т.е.
Доказательство этого утверждения – формула (4.9)
Вычисляя определитель произведения (4.15), получим а так как в отсчетном положении, то (ортогональные матрицы с определителем, равным (+1), называют собственно ортогональными или матрицами поворота). Матрица поворота при умножении на векторы не изменяет ни длин векторов, ни углов между ними, т.е. действительно их поворачивает.
2. Матрица поворота имеет один собственный (неподвижный) вектор, который задает ось поворота. Иными словами, надо показать, что система уравнений, где имеет единственное решение. Запишем систему в виде (. Определитель этой однородной системы равен нулю, так как
следовательно, система имеет ненулевое решение. Предположив, что имеется два решения, тут же придем к выводу, что перпендикулярный к ним также является решением (углы между векторами не изменяются), а это значит, что т.е. поворота нет..
| Рис.4.7 |
Матрица в ортонормированном базисе
имеет вид.
2. Дифференцируя (4.15), получим или, обозначив – матрица спна (англ. to spin - вертеть) . Таким образом, матрица спина кососимметрическая: . Умножая справа на, получим формулу Пуассона для матрицы поворота:
Мы подошли к самому трудному в рамках матричного описания моменту – определению вектора угловой скорости.
Можно, разумеется, поступить стандартным (см., например, способом и написать: « введем обозначения для элементов кососимметрической матрицы S по формуле
Если составить вектор , то результат умножения матрицына векторможет быть представлен в виде векторного произведения ». В приведенной цитате - вектор угловой скорости.
Дифференцируя (4.14), получим матричную запись основной формулы кинематики твердого тела :
Матричный подход, будучи удобным для вычислений, очень мало подходит для анализа и вывода соотношений; всякую формулу, написанную на векторном и тензорном языке, без труда можно записать в матричном виде, а вот получить компактную и выразительную формулу для описания какого-либо физического явления в матричном виде трудно.
Кроме того, не следует забывать, что элементы матрицы являются координатами (компонентами) тензора в каком-либо базисе. Сам тензор не зависит от выбора базиса, а его компоненты зависят. Для безошибочной записи в матричном виде необходимо, чтобы все векторы и тензоры, входящие в выражение, были записаны в одном базисе, а это не всегда удобно, поскольку разные тензоры имеют «простой» вид в разных базисах, поэтому нужно пересчитывать матрицы с помощью матриц перехода.
Направл. величина искаженной кристаллич. решетки, обусловл. дисклинацией: кручения — угол поворота части кристалла относительно другой; клиновой изменение угла поворота а при изменении порядка оси симметрии. … Справочник технического переводчика
вектор Франка - направленная величина искаженности кристаллической решетки, обусловленная дисклинацией: кручения угол поворота части кристалла относительно другой; клиновой изменение угла поворота а при изменении порядка оси симметрии. Смотри… … Энциклопедический словарь по металлургии
Матрица поворота - Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия
Управляемый вектор тяги - Управление вектором тяги (УВТ) реактивного двигателя отклонение реактивной струи двигателя от направления, соответствующего крейсерскому режиму. В настоящее время управление вектором тяги обеспечивается, в основном, за счет поворота всего сопла… … Википедия
ГИРОСКОП - навигационный прибор, основным элементом которого является быстро вращающийся ротор, закрепленный так, что ось его вращения может поворачиваться. Три степени свободы (оси возможного вращения) ротора гироскопа обеспечиваются двумя рамками… … Энциклопедия Кольера
ФАРАДЕЯ ЭФФЕКТ - один из эффектов магнитооптики. Заключается во вращении плоскости поляризации линейно поляризов. света, распространяющегося в в ве вдоль пост. магн. поля, в к ром находится это в во. Открыт М. Фарадеем в 1845 и явился первым доказательством… … Физическая энциклопедия
Графический конвейер - Графический конвейер аппаратно программный комплекс визуализации трёхмерной графики. Содержание 1 Элементы трехмерной сцены 1.1 Аппаратные средства 1.2 Программные интерфейсы … Википедия
Магнетизм - Классическая электродинамика … Википедия
ГОСТ 22268-76: Геодезия. Термины и определения - Терминология ГОСТ 22268 76: Геодезия. Термины и определения оригинал документа: 114. Абрис Ндп. Кроки D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематический чертеж участка местности Определения термина из разных документов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Система ориентации солнечных батарей - Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии … Википедия
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ - векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У.… … Физическая энциклопедия
