Определение перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые.
Пусть а и b - прямые, пересекающиеся в точке А (рис. 1). Каждая из этих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть альфа - один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом альфа, либо вертикальным с углом альфа.
Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже будут прямые, В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.
Определение.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 2).
Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥ Запись а ⊥ b читается: Прямая а перпендикулярна прямой b.
Теорема.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство.
Пусть а - данная прямая и А - данная точка на ней. Обозначим через ах одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 3). Отложим от полупрямой а1 угол (a1b1), равный 90°.
Тогда прямая, содержащая луч b1, будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b2. Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а1. Но от полупрямой а1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
Определение.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
На рисунке 4 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В - основание перпендикуляра.
Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 5).
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Перпендикулярность прямых АС и ВD обозначается так: АС ⊥ ВD (читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой ВD»).
Отметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (рис. 6,а). В самом деле, рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ (рис. 6,б). Мысленно перегнем рисунок по прямой РQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1. Аналогично, луч QВ наложится на луч QB1. Поэтому, если предположить, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую точку М1 также лежащую на этих прямых (рис. 6,в), и мы получим, что через точки М и М1 проходят две прямые: АА1 и ВВ1. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Построение прямых углов на местности
Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, простейшим из которых является экер. Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике (рис. 7). На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (прямая ОВ на рисунке 7). Получается прямой угол АОВ.
В геодезии для построения прямых углов используются более совершенные приборы, например теодолит.
По горизонтали:
3
. Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с ее центром. 6
. Утверждение, не требующее доказательства. 9
. Конструкция, система мысли. 10
. Вид четырехугольника. 15
. Отрезок прямой, соединяющий две точки кривой. 16
. Мера длины. 17
18
. Точка пересечения диаметров окружности. 19
. Тригонометрическая функция. 20
. Часть окружности. 21
. Старинная мера длины.
По вертикали:
1
. Символ какого-либо алфавита. 2
. Вид параллелограмма. 4
. Хорда, проходящая через центр окружности. 5
. Геометрический элемент. 7
. Луч, делящий угол пополам. 8
. Символ греческого алфавита. 10
. Сумма длин сторон треугольника. 11
. Вспомогательное предложение, используемое для доказательства. 12
. Элемент прямоугольного треугольника. 13
. Одна из замечательных линий треугольника. 14
. Тригонометрическая функция.
Есть такая задача:
В Заколдованном Лесу било 10 заколдованных источников - номер 1, 2, 3,... 10. Вода каждого источника была неотличима на цвет, вкус и запах от обычной воды, но являлась сильнейшим ядом. Выпивший её был обречён - если только в течение часа после этого не пил воды источника с бОльшим номером (например, от яда источника 3 спасали источники 4-10; яд 10-го источника не оставлял шансов на спсасение). Первые 9 источников были общедоступны, но источник 10 был в пещере Кащея Бессмертного, и доступ к нему имел только Кащей.
И вот однажды Иван-Дурак вызвал Кащея на поединок. Условия были простыми: каждый приносит с собой по стакану некоторой жидкости, соперники обмениваются стаканами и выпивают их содержимое. А дальше - справляются, как могут.
Кащей был доволен. Ещё бы: он даст Ивану яд номер 10, и Ивана ничто не сможет спасти. А сам он яд, данный Иваном, запьёт водой 10-го источника - и будет спасён.
Попробуйте разработать план дуэли для Ивана. Задача - остаться жить самому и прикончить Кащея.
Ответ 1.
Угробить Кащея. Ему нужно дать не яд, а чистую воду. Он запьёт её своим ядом - и он обречён.
Ответ 2.
Не угробиться самому. Любой яд, кроме номера 1, может являться и противоядием. Перед тем, как придти на дуэль, нужно выпить яд малого номера. И тогда яд номер 10, полученный от Кащея на дуэли, не убьёт, а спасёт.
Вообще, идея-то тривиальная. Не всегда можно взвесить поступок изолированно. Одно и то же действие может оказаться и ядом, и противоядием. Многое зависит от фона. Не буду говорить, что всё - но, несомненно, многое.
И когда вы слышите, что кто-то из ваших знакомых совершил Такую-То и Такую-То Гадости, не спешите вешать ярлыки. Уверены ли вы, что это именно гадости? Не может ли быть, что они просто выглядят так? Уверены ли вы, что фон этих действий вам известен?
Построение перпендикулярной прямой
Сейчас мы с вами с помощью циркуля попробуем построить перпендикулярную прямую. Для этого у нас есть точка О и прямая а.
На первом рисунке изображена прямая на которой лежит точка О, а на втором данная точка не лежит на прямой а.
Теперь давайте по отдельности рассмотрим эти оба варианта.
1-й вариант
Вначале мы берем циркуль, ставим его в центр точки О и чертим окружность с произвольным радиусом. Теперь мы видим, что данная окружность пересекает прямую а в двух точках. Пускай это будут точки А и В.
Далее, мы берем и проводим окружности из точек А и В. Радиус этих окружностей будет АВ, а вот точка С будет точкой пересечения этих окружностей. Если вы помните, то в самом начале мы с вами получили точки А и В, когда чертили окружность и брали произвольный радиус.
В итоге мы видим, что искомая перпендикулярная прямая проходит через точки С и О.
Доказательство
Для данного доказательства нас нужно провести отрезки AC и CB. И мы видим, что образовавшиеся треугольники равны: Δ ACO = Δ BCO, это следует из третьего признака равенства треугольников, то есть у нас выходит, что AO = OB, AC = CB, а СО общая по построению. Образовавшиеся углы ∠ COA и ∠ COB равны и оба имеют величину, равную 90 °. Из этого следует, что прямая CO перпендикулярна AB.
Отсюда мы можем сделать вывод, что углы, образованные при пересечении двух прямых являются перпендикулярными в том случае, если хотя бы один из них перпендикулярен, а это значит, что такой угол равен 90 градусам и является прямым.
2-й вариант
А сейчас давайте рассмотрим вариант построения перпендикулярной прямой, где данная точка не лежит на прямой а.
В этом случае мы с помощью циркуля из точки О проводим окружность с таким радиусом, чтобы эта окружность пересекала прямую а. А точки А и В пускай будут точками пересечения этой окружности с данной прямой а.
Далее, мы берем такой же радиус, но проводим окружности, центром которых будут точки A и B. Смотрим на рисунок и видим, что у нас появилась точка О1, которая также является точкой пересечения окружностей и лежит в полуплоскости, но отличной от той, в которой находится точка О.
Следующее, что мы сделаем, так это через точки O и O1проведем прямую. Это и будет та перпендикулярная прямая, которую мы искали.
Доказательство
Припустим, что точкой пересечения прямых OO1 и AB является точка С. Тогда треугольники AOB и BO1A равны по третьему признаку равенства треугольников и AO = OB = AO1 = O1B, а АВ является общей по построению. Из этого следует, что углы OAС и O1AC равны. Треугольники OAC и O1AC, следуя из первого признака равенства треугольников AO равняется AO1, а по построению, углы OAС и O1AC равны при общей AС. Следовательно, что угол OСA равен углу O1CA, но а так как они смежные, то значит прямые. Поэтому, делаем вывод, что OC является перпендикуляром, который опущенный из точки O на прямую a.
Вот так, только с помощью циркуля и линейки, можно легко построить перпендикулярные прямые. И не важно, где находится точка, через которую должен проходит перпендикуляр, на отрезке или вне этого отрезка, главное в этих случаях верно найти и обозначить первоначальные точки А и В.
Вопросы:
- Какие прямые называются перпендикулярными?
- Какой угол между перпендикулярными прямыми?
- Чем пользуються для построения перпендикулярных прямых?
Прямая (отрезок прямой) обозначается двумя большими буквами латинского алфавита или одной маленькой буквой. Точка обозначается только большой латинской буквой.
Прямые могут не пересекаться, пересекаться или совпадать. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, непересекающиеся прямые - ни одной общей точки, у совпадающих прямых все точки общие.
Определение. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».
Например:
Ваш AB и CD (рис. 1) пересекаются в точке О и ∠АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD = 90°, то AB ⊥ CD .
Если AB ⊥ CD (рис. 2) и пересекаются в точке В , то ∠АBC = ∠ABD = 90°
Свойства перпендикулярных прямых
1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD , называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF ).
2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ ), проведенного из точки А на прямую CD ,- это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Аназ. взаимно перпендикулярными, если lперпендикулярна ко всякой прямой, лежащей на a. Об обобщении понятия перпендикулярности см. ст. Ортогональность.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ" в других словарях:
Бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности. Содержание 1 На плоскости 1.1 Перпендикулярные … Википедия
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене). Декарт впервые ввел… … Энциклопедический словарь
Раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего… … Энциклопедия Кольера
Пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх. Реальное пространство трёхмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси… … Энциклопедический словарь
Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия
Геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера
- (истор.) Первоначальное понятие о К. можно встретить даже у дикарей, особенно живущих по берегам и о вам и имеющих более или менее ясное представление об окружающих их территорию местностях. Путешественники, расспрашивавшие эскимосов С. Америки и … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы… … Большая советская энциклопедия
Раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2 го порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат и методы элементарной алгебры.… … Математическая энциклопедия
Книги
- Комплект таблиц. Геометрия. 7 класс. 14 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 14 листов. Луч и угол.…
Перпендикулярностью называют соотношение между разнообразными объектами в евклидовом пространстве - прямыми, плоскостями, векторами, подпространствами и так далее. В настоящем материале мы более внимательно рассмотрим перпендикулярные прямые и характерные черты, к ним относящиеся. Две прямые могут быть названы перпендикулярными (или взаимоперпендикулярными), если все четыре угла, которые образованы их пересечением, составляют строго по девяносто градусов.
Существуют определенные свойства перпендикулярных прямых, реализованных на плоскости:
Построение перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые строятся на плоскости с помощью угольника. Любой чертежник должен иметь в виду, что важной особенностью каждого угольника является то, что он обязательно имеет прямой угол. Чтобы создать две перпендикулярные прямые, нам необходимо совместить одну из двух сторон прямого угла нашего
чертежного угольника с данной прямой и провести вторую прямую вдоль второй стороны этого прямого угла. Таким образом будут созданы две перпендикулярные прямые.
Трехмерное пространство
Интересен тот факт, что перпендикулярные прямые могут быть реализованы и в В этом случае такими будут называться две прямые, если они параллельны соответственно каким-либо двух иным прямым, лежащим в той же плоскости и тоже перпендикулярным в ней. Кроме того, если на плоскости перпендикулярными могут быть лишь две прямые, то в трехмерном пространстве - уже три. Более того, в количество перпендикулярных линий (или же плоскостей) может быть еще больше увеличено.
